Ako spoznať zlý výsledok?

September 1, 2012

Všetci to poznáte. Rátate, rátate, posledné minúty vám unikajú popod prsty, a vy nemáte čas skontrolovať si svoje výpočty! Čo keď ste sa niekde pomýlili? Je ten výsledok vôbec dobre? Túto otázku si isto položil niekedy každý z vás, a ak aj nie, isto by si mal.

Bohužiaľ, neexistuje spôsob, ako overiť, či je výsledok dobre. Za to ale existuje množstvo fínt, ktoré vám pomôžu ľahko a rýchlo odhaliť, či je výsledok zle. Blog P-Matu vám preto prináša stručný návod na niektoré z nich. Oplatí sa ich používať naozaj vždy a mne už zachránili mnoho zbytočnej námahy a ušetrili veľa času.

Finta prvá: Správne jednotky

Myšlienka tejto finty je naozaj jednoduchá. Výsledok musí mať tie správne jednotky. Čas nemôže vyjsť v metroch za sekundu, ale musí vyjsť v sekundách. Ak vám vyjde výsledok v zlých jednotkách, pomýlili ste sa a výpočet treba zopakovať. To, v akých jednotkách vychádza výsledok, sa dá našťastie ľahko zistiť. Tejto finte sa hovorí aj rozmerová analýza.

Táto finta je presne ten dôvod, prečo sa oplatí si počas výpočtov písať jednotky. Dá sa ale použiť aj vtedy, keď človek počíta všeobecne (teda čísla dosádza až na konci), a vtedy je ešte užitočnejšia! Ale pekne postupne.

S dosadenými číslami:

Výsledkom jedného príkladu mala byť priemerná rýchlosť auta. Ako som tak počítal, dostal som takýto medzivýsledok:

 v_p=\frac{3,12 \textrm{s} \cdot 4,5 \textrm{m}}{5,47 \textrm{s}+1,12\textrm{s}}

Nezdal sa mi dobre, mal som pocit že som niekde niečo zabudol. Tak som si povedal, že si skontrolujem jednotky. Takže ako na to?

  1. Výsledok má byť rýchlosť, takže musí vyjsť v jednotkách rýchlosti.
  2. Treba teda overiť, v čom vychádza. Ak vychádza v niečom inom ako v jednotkách rýchlosti, je zle.

Pri akomkoľvek výpočte našťastie to, v akých jednotkách je výsledok, nezávisí od konkrétnych čísel1. Preto na čísla môžeme pri kontrole jednotiek „zabudnúť“ a z výpočtov ich rovno vynechať. Potom dostanem toto:

 [v_p]=\frac{ \textrm{s} \cdot \textrm{m}}{ \textrm{s}+\textrm{s}}

Hranaté zátvorky znamenajú, že  v_p nie je priemerná rýchlosť, ale jednotka priemernej rýchlosti. Číta sa to v_p je v jednotkách...“. No, a teraz už spočítam aký je výsledok. Čo je to v menovateli zlomku? Sekunda plus sekunda dáva zas sekundu. Tu sa treba pristaviť. Čo ak by tam bola sekunda plus hodina? Alebo sekunda plus kilometer? V obidvoch prípadoch by to bol nezmysel. Keď sa sčitujú alebo odčitujú jednotky, musia byť vždy rovnaké. Ak sú to jednotky rovnakej veličiny (napr. sekunda a hodina), tak ich premením na rovnaké, a všetko je v poriadku. Ale ak sú to jednotky rôznych veličín (sekunda a kilometer), určite som sa pomýlil a niekde mám chybu.

Takže dostávam:

 [v_p]=\frac{\textrm{s} \cdot {} \textrm{m}}{\textrm{s}}
Vykrátim sekundy a mám:

 [v_p]= \textrm{ m}

Vyšlo nám teda, že priemerná rýchlosť je v metroch, a to je zle. Niekde som sa teda pomýlil a musím si skontrolovať výpočty.
No dobre, toto bolo zatiaľ naozaj jednoduché. Tak niečo zložitejšie. Ako je to s tým počítaním všeobecne?

Všeobecne:

Po tomto strašne dlhom príklade som sa pustil na ďalší. Počítal som príklad, v ktorom mi ako výsledok mala vyjsť gravitačná sila, ktorou pôsobí kockatá planéta na vesmírnu loď, ktorá váži 1\textrm{ kg}. Počítal som pre istotu trikrát, ale vždy mi vyšiel iný vzorec! Boli to tieto:

  1.  F=\frac{a \cdot a\cdot a \cdot \rho \cdot \kappa}{4d}
  2.  F=\frac{a \cdot a \cdot a \cdot \rho}{d+a \cdot \kappa}
  3.  F=\frac{d \cdot d \cdot \rho \cdot \kappa}{(d-a)}

Čo znamenajú jednotlivé písmenká a aké majú tieto veličiny jednotky je tu:

F- gravitačná sila, [F]=\textrm{N}
a- dĺžka hrany planéty, [a]=\textrm{m}
d- vzdialenosť lode od stredu planéty,[d]=\textrm{m}
\rho-hustota planéty, [\rho]={\frac{\textrm{kg}}{\textrm{m}^3}}
\kappa-Newtonova gravitačná konštanta,[\kappa]={\frac{\textrm{N} \cdot \textrm{m}^2}{\textrm{kg}}}

Teraz možno niektorí pučíte oči. Veď niečo také sme sa nikdy neučili! Ako sa to počíta? Viete, čo je na tom celom najlepšie? Rozmerovú analýzu môžete použiť aj tam, kde vôbec neviete, o čom je reč. Vtedy je to asi jediný spôsob, ako odhaliť chybné výsledky. Takže sa teraz pekne znovu pozrite na tie vzorce. Výsledok má byť v Newtonoch. Rovnako ako pred tým, ani teraz jednotka výsledku nezávisí od toho, aké čísla dosadím za jednotlivé premenné. Preto jednoducho za premenné dosadím ich jednotky a zistím, čo mi vyjde.

Prvý výsledok:

 [F]=\frac{\textrm{m} \cdot{} \textrm{m}\cdot{} \textrm{m} \cdot{} \frac{\textrm{kg}}{\textrm{m}^3} \cdot{} \frac{\textrm{N} \cdot \textrm{m}^2}{\textrm{kg}} }{\textrm{m}}

Škaredé? Len napohľad. Teraz totiž môžem vykrátiť všetko čo sa dá. Skúste si to sami! Vyjde mi:

 [F]=\textrm{N} \cdot{} \textrm{m}

To je očividne zle, keďže  \textrm{m} je tam navyše. Tento výsledok je teda určite zle.

Druhý výsledok:

Zas ako pred tým, dosadím jednotky:

 [F]=\frac{\textrm{m} \cdot{} \textrm{m}\cdot{} \textrm{m} \cdot{} \frac{\textrm{kg}}{\textrm{m}^3}}{\textrm{m}+\textrm{m} \cdot{} \frac{\textrm{N} \cdot{} \textrm{m}^2}{\textrm{kg}}}

Ale čo to vidím v menovateli? Sčitujem tam rôzne jednotky (keďže sa tam už nič nedá vykrátiť)2. O tom už vieme, že je to nezmysel, takže tento výsledok je tiež zle.

Tretí výsledok:

Dosadím a je to. Skúste to sami! Je to ľahké. Ak vám vyjde výsledok v iných jednotkách ako v  \textrm{N}, tak je tento vzťah zle. Ak vám ale vyjde v  \textrm{N}, pozor! Neznamená to, že je dobre. Ani úspešné prejdenie rozmerovou analýzou nezaručí správnosť výsledku. Výsledok sa dozviete v ďalšom článku, spolu s užitočnou fintou zvanou „vyšetrenie špeciálnych prípadov.“


1Prečo výsledná jednotka nezávisí od čísiel? S jednotkami môžeme v skutočnosti narábať úplne rovnako ako s hocijakým číslom alebo premennou. Pomocou presúvania a vynímania pred závorku môžem teda čísla a jednotky osamostatniť. Aha, takto:
v_p=\frac{3,12 \textrm{s} \cdot 4,5 \textrm{m}}{5,47 \textrm{s}+1,12\textrm{s}}=\frac{3,12 \cdot 4,5 \cdot \textrm{s} \cdot \textrm{m}}{(5,47+1,12)\cdot \textrm{s}}=\frac{3,12 \cdot 4,5 }{5,47+1,12} \cdot \frac{\textrm{s} \cdot{} \textrm{m}}{\textrm{s}}
Teraz je už zrejmé, že bez ohľadu na to, ako zmením čísla, výslednú jednotku to neovplyvní.

2 Pre tých, ktorý už vedia, že \textrm{N} sa dá rozpísať v základných jednotkách ako  \textrm{kg} \cdot{} \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}, mám smutnú správu: tiež to nepomôže.

O autorovi

Tento bradatý študent rád roztáča mozgové závity, svoje aj cudzie. Vždy robil Pikomat, Pikofyz a iné súťaže, najprv ako účastník a neskôr ako vedúci. Vďaka tomu sa dostal až na Medzinárodnú Fyzikálnu Olympiádu a odniesol si z nej striebornú medailu.   Teraz študuje fyziku na FMFI UK a užíva si radosti študentského života. Lezie po skalách, chodí po horách, zúčastňuje sa LARPov, prokrastinuje a smeje sa s kamarátmi. Jeho záľubu v myslení (a srande) mu okrem školy pomáha napĺňať vedúcovanie Pikofyzu. Vymýšľa a opravuje príklady, píše články a zúčastňuje sa ako vedúci na sústredeniach pre najlepších riešiteľov.

Zdieľaj naše príspevky

  • Facebook
  • Twitter

Komentáre

K tomuto príspevku nie sú žiadne komentáre.

Pridaj komentár